数量关系-考点

是是非非谓之智，非是是非谓之愚。（《荀子·修身》）

基础计算

不定方程

解法

公考齐麟—【方法技巧】数量0基础——不定方程解法汇总-链接🔗

①直接代入选项验证 ②枚举试算； ③利用奇偶、尾数、倍数等数字特性分析； ④特定题型可以采用赋“0”法。

赋“0”法

如果三个未知数，两个方程
将系数大的那个项设置为0，求的其余两个未知数
就是xyz的和，
如果求的是： 三个未知数、但不是xyz

某次考试，题目是30道多项选择题，每题选对所有正确选项3分，少选且正确的1分，不选或选错倒扣1分，小王最终得分为50分，现要求改变评分方式，选对所有正确选项得4分，少选且正确得1分，不选或错选倒扣2分，问这种评分方式下小王将得多少分？（）

x+y+z = 30
3x + y - z = 50

求：4x + y - 2z

令x=0、y=40、z=-10, 答案60

周期问题

确定周期，注意每隔，N+1
计算最小公倍数，可以两两计算
总数<最小公倍数> ➗ 周期，看商和余数

最小公倍数

分别有周期，求同时发生

每隔 N 天，即每隔 N+1 天

和 = （首项 + 未项）/ 2 * 项数
= 中位数 * 项数
= 平均数 * 项数

第 N 项 = 第一项 + (n-1) *公差

1-10 共 10-1+1 = 10位
3-10 共 10-3+1 = 8位
1-9 中间位（9+1）/2 = 5
1-10 中间位（10+1） /2

工程问题

特征

若干个人干活
完成工程
就是多人干活
就是多人干活

公式

工作总量=工作效率 X 工作时间

常用方法

工作总量

赋值总量为时间的公倍数
计算工作效率
按题目要求完成计算

⚠️：找等量关系，一定按步骤做题

等量关系找不到再找

题目一
解析

为啥不直接用总时间？而是列时间等式

因为中间有人休息，6 小时是两人共同完成的时间✅
等式是需要根据实际的情况而获得🉐️

找等式；等量关系是映射到真实的数据之前的关系

最终需要映射为真实的数据

工作总量 & 最优解

习题
解析

原则问题

工程量的原则不变；
各自负责擅长的
✅完成自己负责的，去帮助他人

工作效率

等量关系

遇到问题不要慌，就是等量关系就是总量

如果同时开始、结束，则要考虑计算总时间，与题目一正好相反

集合容斥

公式
事例

两个集合公式：总数-两者都不=A+B-AB
三个集合标准公式：
1. 总数-三个都不 = A+B+C - AB - AC — BC + ABC
三个集合变形公式
1. 总数-三个都不 = A+B+C - 同时两者 - 2ABC
2. ABC 加了三遍，只需要留一个，故 -2ABC
文氏图 《只满足某一项》
1. 画图
2. 从中心向外层，填数字

文氏图

经济利润问题

利润率 = 利润 / 成本 = （售价 -成本）/ 成本

打几折：原价*零点几

基本公式

部分打折 🚩

总利润=每部分利润之和

分段计费

找准分段点，分段计算

最值问题

至多
至少
最多
做少
至少+保证 — 最不利构造

原则：气死

方式

想要什么不给什么
想要 N，先给 N-1
不需要的东西统统给

答案：气死之后加 1

转为简单的问题

至少报一个，将报名一个、二个、三个、四个、五个的情况相加。

C5·1 + C5·2 + C5·3 + C5·4 + 1 这就是球球数量；

数量*（N-1）+ 1 = 31*3=1 = 94

2 的 5 次方-1
这样计算总数很溜

数列构造

数列构造
示例

送分题

题干特征

固定总和，分成若干份，求其中某一项的最值

步骤

编号
求谁设谁
按要求完成构造、求解

多集合反向构造 🌈

多集合
送分题

送分题

特征

已知若干单个集合
求最中心的最小值
没有相交

步骤

反向、求和、做差

减加减

趣味杂题

指数取余数

指数尾数

乘方尾数口诀：指数除以4，取余数，如果整除，取4；底数保留个位即可。

两两求和问题

题型特性

不同的数、组成不同的和。总的有Cn-2个，不重要。
默认为⼩到⼤排列。
⼤ DE 45 ⼤ CE 42 ⼩ AB 17 ⼩ 25 如果求A与E的差，直接25-17 3⃣ 该题⽬需要计算全部的。⼩ BC = 28 进⼀步就可以解的答案，不难。
但不要慌，加减法要快。

数量小，罗列出所有的可能性

某疗养院同一个房间的四位病友，把他们的年龄（均为整数）两两相加得到6个不同的数，已知其中5个数为：99，113，125，130，144，四人中年龄最大者与年龄最小者岁数之和为（）岁。

计算

数量大，直接推导，很可能直接就出来了

A、B、C、D、E是5个不同的整数，两两相加的和共有8个不同的数值，分别是17、25、28、31、34、39、42、45，则这5个数中能被6整除的有几个？（）

看题型

年龄问题

公式

比赛问题

简单
复杂🚩

乒乓球世界杯锦标赛上，中国队、丹麦队、日本队和德国队分在一个小组，每两个队之间都要比赛1场，已知日本队已比赛了1场，德国队已比赛了2场，中国队已比赛了3场，则丹麦队还有几场比赛未比？（）

把N个元素画成钟表的样⼦，互相连线，⼀般都是每两个必须，还有⼀个全部的。快速连线，计算结果就⾏了。

8个人比赛国际象棋，约定每两人之间都要比赛一局，胜者得2分，平局得1分，负的不得分。在进行了若干局比赛之后，发现每个人的分数都不一样。问最多还有几局比赛没比？（）

空瓶换酒

公式

12个啤酒空瓶可以免费换1瓶啤酒，现有101个啤酒空瓶，最多可以免费喝到的啤酒数为（）。

A.10瓶
B.11瓶
C.8瓶
D.9瓶

6个空瓶可以换一瓶汽水，某班同学喝了157瓶汽水，其中有一些是用喝剩下来的空瓶换的，那么他们至少要买多少瓶汽水？（）
A. 131
B. 130
C. 128
D. 127

牢记公式： M/N-1

N个空瓶 <-> 1 水
共M个空瓶可以得多少水？
记得取整数。
如果7换2 =》 3.5=》1

事例二，灵活运用公式

灵活运用公式
找等量关系，买的+换的=总的
买X
X又可以换 X/5
X+X/5=157

天平问题

天平问题 1

有一架天平，只有5克和30克的砝码各一个。现在要用这架天平把300克味精平均分成3份，那么至少需要称多少次？（）

称好的可以当砝码。

第⼀次：⽤所有的砝码，获得35g味精；
第⼆次：砝码：35g的味精+30g的砝码 = 称出：65；共100g;
第三次：剩下的200直接左右平分

考试应该不会太难，多看几遍，操作流程
应该就是就是

最后一次，左右平分；
前面的次数，最快计算出一份的次数。
1. 以第一称出来的为基准，第二次向总数靠。

时钟问题

表盘上的常识：

表盘一圈分成了12大格（60小格），时针每小时转1大格，分针每小时转12大格（60小格）。

度数：1大格30°，1小格6°
速度：
1. 时针的速度：每分钟走0.5°；
2. 分针的速度：每分钟走6°。
3. 两者速度差5.5°/分钟

公式：

N点M分的夹角：Nx30度 - Mx5.5度
套用路程公式
1. 追及问题
2. 三点的夹角90度，19分，分针超过时针，
3. 速度差*时间 = 路程差
4. 路程差-90度

3点19分时，时钟上的时针与分针所构成的锐角为几度：

A．14度
B．14.5度
C．15度
D．15.5度

挑小球问题

记住：3的n次方；
原理：三个小球，一次可以，超过三个的按三个一组即可。

牛吃草问题

溶液问题 🌈

公式
实例

直接列方程

基本公式：

溶液（盐水）＝溶质（盐）+溶剂（水）；

浓度＝溶质÷溶液；

常考题型及入手点：

①蒸发稀释类：溶质不变

②溶液混合类：混合前后总溶质相等

③反复操作类：总溶液不变，计算剩余溶质

两杯溶液来回折腾

余数同余问题

特征

除以几余几、除以几余几、除以几余几

步骤

最小公倍数
余数相同取余数，
1. 9…4; 3…4
2. 27N+4
差同取差
1. 7…4; 9…6
2. 63N-2
和同加和
1. 1…4; 2…3
2. 2N+5
没有以上规律
1. 两两比较，看是否有以上关系，
2. 如果各不相同
3. 看下侧实例

在 1000 以内，除以 3 余 2，除以 7 余 3，除以 11 余 4 的数有几个？

任何两个都没有以上关系，同余、差同、和同
设 11X+4 【从大数开始】
1. 从 0 代入简单的数：4、15、26、37
2. 26 除以 3 余 2
3. 得：11&3 的公倍数+26 = 33N + 26
4. 从 0 代入：26、59、
5. 59 除以 7 余 3
6. 得：33&7 的公倍数+59 = 231N + 59
7. 得到最终的公式后，从 0 代入
8. 0-4 共 5 个数字。直接用 1000/231 的个数字比较一下就可以找有几个 N 了。