理解有符号数和无符号数

纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行——出自《冬夜读书示子聿》

理解有符号数和无符号数

声明网上看到的文章，原文找不到了，原文被转载的不成样子，重复很多，整理花了很长时间，在翻看了维基百科后发现，原文中对于负数原码和补码存在一些问题，修改了一部分，原作者看到后可以联系我。

1、你自已决定是否需要有正负。

就像我们必须决定某个量使用整数还是实数，使用多大的范围数一样，我们必须自已决定某个量是否需要正负。如果这个量不会有负值，那么我们可以定它为带正负的类型。

在计算机中，可以区分正负的类型，称为有符类型（signed），无正负的类型（只有正值），称为无符类型。（unsigned）数值类型分为整型或实型，其中整型又分为无符类型或有符类型，而实型则只有符类型。字符类型也分为有符和无符类型。比如有两个量，年龄和库存，我们可以定前者为无符的字符类型，后者定为有符的整数类型。

2、使用二制数中的最高位表示正负。

首先得知道最高位是哪一位？1个字节的类型，如字符类型，最高位是第7位，2个字节的数，最高位是第15位，4个字节的数，最高位是第31位。不同长度的数值类型，其最高位也就不同，但总是最左边的那位（如下示意）。字符类型固定是1个字节，所以最高位总是第7位。

(红色为最高位)

单字节数： 11111111
双字节数： 11111111 11111111
四字节数： 11111111 11111111 11111111 11111111

当我们指定一个数量是无符号类型时，那么其最高位的1或0，和其它位一样，用来表示该数的大小。
当我们指定一个数量是无符号类型时，此时，最高数称为“符号位”。为1时，表示该数为负值，为0时表示为正值。

3、无符号数和有符号数的范围区别。

无符号数中，所有的位都用于直接表示该值的大小。有符号数中最高位用于表示正负，所以，当为正值时，该数的最大值就会变小。我们举一个字节的数值对比：

无符号数： 11111111 值：255

1* 27 + 1* 26 + 1* 25 + 1* 24 + 1* 23 + 1* 22 + 1* 21 + 1* 20

有符号数： 01111111 值：127

1* 26 + 1* 25 + 1* 24 + 1* 23 + 1* 22 + 1* 21 + 1* 20

同样是一个字节，无符号数的最大值是255，而有符号数的最大值是127。原因是有符号数中的最高位被挪去表示符号了。并且，我们知道，最高位的权值也是最高的（对于1字节数来说是2的7次方=128），所以仅仅少于一位，最大值一下子减半。

不过，有符号数的长处是它可以表示负数。因此，虽然它的在最大值缩水了，却在负值的方向出现了伸展。我们仍一个字节的数值对比：

无符号数：          0 ---------------- 255 

有符号数：-128 ---- 0 ---- 127

同样是一个字节，无符号的最小值是 0 ，而有符号数的最小值是-128。所以二者能表达的不同的数值的个数都一样是256个。只不过前者表达的是0到255这256个数，后者表达的是-128到+127这256个数。

一个有符号的数据类型的最小值是如何计算出来的呢？

有符号的数据类型的最大值的计算方法完全和无符号一样，只不过它少了一个最高位（见第3点）。但在负值范围内，数值的计算方法不能直接使用1* 26 + 1* 25 的公式进行转换。在计算机中，负数除为最高位为1以外，还采用补码形式进行表达。所以在计算其值前，需要对补码进行还原。
这里，先直观地看一眼补码的形式：

在10进制中：1 表示正1，而加上负号：-1 表示和1相对的负值

那么，我们会很容易认为在2进制中（1个字节）： 0000 0001 表示正1，则高位为1后：1000 0001应该表示-1。

然而，事实上计算机中的规定有些相反，请看下表：

二进制值（1字节）	十进制值
10000000	-128
10000001	-127
10000010	-126
10000011	-125
….	…
11111110	-2
11111111	-1

首先我们看到，从-1到-128，其二进制的最高位都是1，正如我们前面的学。 负数最高为为1

然后我们有些奇怪地发现，1000 0000 并没有拿来表示 -0；而1000 0001也不是拿来直观地表示-1。事实上，-1 用1111 1111来表示。

怎么理解这个问题呢？先得问一句是-1大还是-128大？

当然是 -1 大。-1是最大的负整数。以此对应，计算机中无论是字符类型，或者是整数类型，也无论这个整数是几个字节。它都用全1来表示 -1。比如一个字节的数值中：1111 1111表示-1，那么，1111 1111 - 1 是什么呢？
和现实中的计算结果完全一致。1111 1111 - 1 = 1111 1110，而1111 1110就是-2。这样一直减下去，当减到只剩最高位用于表示符号的1以外，其它低位全为0时，就是最小的负值了，在一字节中，最小的负值是1000 0000，也就是-128。

我们以-1为例，来看看不同字节数的整数中，如何表达-1这个数：

字节数	二进制值	十进制值
单字节数	11111111	-1
双字节数	11111111 11111111	-1
四字节数	11111111 11111111 11111111 11111111	-1

可能有同学这时会混了：为什么 1111 1111 有时表示255，有时又表示-1？

所以我再强调一下前面所说的第2点：你自已决定一个数是有符号还是无符号的。写程序时，指定一个量是有符号的，那么当这个量的二进制各位上都是1时，它表示的数就是-1；相反，如果事选声明这个量是无符号的，此时它表示的就是该量允许的最大值，对于一个字节的数来说，最大值就是255。

我们已经知道计算机中，所有数据最终都是使用二进制数表达。也已经学会如何将一个10进制数如何转换为二进制数。不过，我们仍然没有学习一个负数如何用二进制表达。
比如，假设有一 int 类型的数，值为5，那么，我们知道它在计算机中表示为：

00000000 00000000 00000000 00000101

5转换成二制是101，不过int类型的数占用4字节（32位），所以前面填了一堆0。现在想知道，-5在计算机中如何表示？在计算机中，负数以其正值的补码形式表达。

什么叫补码呢？这得从原码、反码说起。

原码：一个整数，按照绝对值大小转换成的二进制数，最高为为符号位，称为原码。红色为符号位

比如 00000000 00000000 00000000 00000101 是 5的原码。
10000000 00000000 00000000 00000101 是-5的原码

反码：将二进制除符号位数按位取反，所得的新二进制数称为原二进制数的反码。 正数的反码为原码，负数的反码是原码符号位外按位取反。
取反操作指：原为1，得0；原为0，得1。（1变0; 0变1）

正数：正数的反码与原码相同。
负数：负数的反码，符号位为“1”，数值部分按位取反。

比如：将10000000 00000000 00000000 00000101除符号位每一位取反，

得11111111 11111111 11111111 11111010。

称：11111111 11111111 11111111 11111010 是 10000000 00000000 00000000 00000101 的反码。

反码是相互的，所以也可称：

11111111 11111111 11111111 11111010 和 10000000 00000000 00000000 00000101 互为反码。

补码：反码加1称为补码。

正数：正数的补码和原码相同。

负数：按照规则来
也就是说，要得到一个数的补码，先得到反码，然后将反码加上1，所得数称为补码

11111111 11111111 11111111 11111010 是 10000000 00000000 00000000 00000101（-5）的反码。
加1得11111111 11111111 11111111 11111011

所以，-5 在计算机中表达为：11111111 11111111 11111111 11111011。转换为十六进制：0xFFFFFFFB。

再举一例，我们来看整数-1在计算机中如何表示。

假设这也是一个int类型，那么：

先取-1的原码： 10000000 00000000 00000000 00000001
除符号位取反得反码：11111111 11111111 11111111 11111110
加1得补码： 11111111 11111111 11111111 11111111

可见，－1在计算机里用二进制表达就是全1。16进制为：0xFFFFFF。

计算机中的带符号数用补码表示的优点：

负数的补码与对应正数的补码之间的转换可以用同一种方法——求补运算完成，可以简化硬件；
可将减法变为加法，省去减法器；
无符号数及带符号数的加法运算可以用同一电路完成。

可得出一种心算求补的方法——从最低位开始至找到的第一个1均不变，符号位不变，这之间的各位“求反”(该方法仅用于做题)。

方法	例1	例2
1. 从右边开始，找到第一个’1’	10101001	10101100
2. 反转从这个’1’之后开始到最左边（不包括符号位）的所有位	11010111	11010100